Zur Darstellungstheorie von SL1 (D)

Über den Titel

Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades doctor rerum naturalium (Dr. rer. nat.) im Fach Mathematik. Sei D eine Divisionsalgebra vom Index n über einem lokalen Körper F der Restcharakteristik p. Es wird das Zerlegungsverhalten der irreduziblen Darstellungen der multiplikativen Gruppe von D bei Einschränkung auf die Untergruppe SL1 (D) der Norm-1-Elemente untersucht. Nach der Langlands-Theorie ist dies auf das Engste mit der gleichen Fragestellung für Darstellungen der Weilgruppe von F bei der Einschränkung auf ihre Kommutatoruntergruppe bzw. mit der Einschränkung einer Darstellung von GLn (F) auf SLn (F) verbunden. Nach einem wohlbekannten Resultat ist letztere immer multiplizitätenfrei, wohingegen bei der ersteren durchaus Vielfachheiten entstehen können. In der Arbeit wird gezeigt, daß sowohl im zahmen Fall ((n, p) = 1) als auch im Fall primen Indexes (n = p) das Zerlegungsverhalten für Darstellungen der Divisionsalgebra genau dem Zerlegungsverhalten auf der Galoisseite entspricht. Dies führt auf die Vermutung, daß dies immer so ist und liefert hierfür rein lokale Beweise in nahezu allen Fällen, in denen die betrachteten Korrespondenzen explizit bekannt sind. Auch der Unterschied zum zerfallenden Fall wird klar herausgearbeitet. Auf der automorphen Seite spiegelt die Divisionsalgebra also die Eigenschaften der Galoisgruppe viel besser wider als GLn (F).Weiterhin wird beschrieben, wie sich die Vielfachheiten in der Zerlegung beim Übergang zu anderen zentralen einfachen Algebren aus den entsprechenden Langlandsparametern ergeben.